Методика навчання школярів планіметрії з використанням об`єктних моделей

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
«Вятський державний гуманітарний університет»
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Курсова робота
Методика навчання школярів планіметрії
з використанням об'єктних моделей
Виконала студентка IV курсу
фізико-математичного факультету
(Спеціальність 050201.65 Математика)
Лук'яненко Оксана Олександрівна
Науковий керівник:
Ст. преп. кафедри дидактики фізики і математики
Горєв П. М.
Кіров
2007

ЗМІСТ


1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ Використання об'єктно МОДЕЛЕЙ ПРИ НАВЧАННІ ГЕОМЕТРІЇ .. 5
1.1 Поняття наочності та її роль в процесі навчання математики. 5
1.2 Об'єктні моделі як наочність навчанні геометрії. 6
1.3 Класифікація моделей. 8
1.4 Вимоги, що пред'являються до наочних посібників і правила їх застосування в навчанні математики. 10
2. МЕТОДИЧНІ АСПЕКТИ Використання об'єктно МОДЕЛЕЙ ПРИ вивчення планіметрії .. 12
2.1 Статистичні моделі при вивченні планіметрії. 13
2.1.1 Площинні моделі. 13
2.1.2 Просторові моделі. 14
2.2 Використання динамічних геометричних моделей. 22
2.2.1 Рухливі геометричні моделі. 22
2.2.2 Геометричний конструктор. 29
2.2.3 Конструювання фігур з паперу. 34
2.3 Виготовлення моделей. 42
2.4 Застосування моделей на етапах уроку. 43
2.5 Недоліки використання моделей. 48
2.6 Дослідне викладання. 49
ВИСНОВОК. 57
СПИСОК .. 58

ВСТУП
Одним з важливих предметів курсу математики є геометрія. У процесі вивчення в учнів мають сформуватися глибокі та міцні знання предмета, а також уміння осмислено їх застосовувати. Проте досвід роботи вчителів математики показує, що якість геометричних знань і умінь учнів основної школи залишається невисоким. Це пояснюється тим, що геометрія в порівнянні з іншими дисциплінами математичного циклу є відносно складним предметом, на її вивчення традиційно відводиться невелика кількість часу. І тому існує проблема: як у таких умовах забезпечити високий рівень знань учнів. Одним з напрямків вирішення даної проблеми є ефективне використання об'єктних моделей на уроках вивчення планіметрії. Проте спостереження за роботою вчителів математики, аналіз методичної літератури, періодичних видань з питань методики математики показують, що об'єктні моделі на уроках геометрії використовуються недостатньо і в основному використовуються при показі моделей просторових тіл на уроках стереометрії. Здатність же учнів подумки уявляти собі фігури їх положення в просторі потрібно розвивати задовго до того, як приходить пора вивчати стереометрію. Але при вивченні планіметрії застосуванню моделей приділяється ще менше уваги.
Це можна пояснити тим, що методика їх використання недостатньо розроблена і вчителі математики часто недооцінюють можливостей застосування об'єктних моделей, хоча вони можуть істотно підвищити ефективність засвоєння матеріалу, а також служити розвитку і підтримці інтересу до предмета.
Основна мета роботи - вивчити теоретичні аспекти та розробити практичні рекомендації до застосування моделей на уроках планіметрії у середній школі. Завдання даної роботи:
- Розглянути об'єктні моделі, як наочність у навчанні;
- Розробити методику роботи з моделями за підручником «геометрія 7 - 9 клас»;
- Показати, застосування моделей на різних етапах уроку;
- Показати, застосування моделей на уроці, спираючись на дослідне викладання.
Методи дослідження:
- Вивчення навчальних посібників та методичних матеріалів з планіметрії;
- Аналіз психологічної, педагогічної та методичної літератури з розглянутої проблеми;
- Спостереження за діяльністю учнів;
- Дослідне викладання.
У роботі представлена ​​класифікація об'єктних моделей, вимоги, які пред'являються до моделей. Показано зв'язок між наочними посібниками і об'єктними моделями. Буде запропоновано докладний план використання моделей на уроках, відповідно до наведеної класифікації. У роботі також показані деякі методичні аспекти по виготовленню моделей, з залученням учнів і конспект уроку, проведеного 7 класі середньої школи № 21 з поглибленим вивченням окремих предметів міста Кірова, на якому використовувалися об'єктні моделі. А також аналіз проведеного уроку.

1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ Використання об'єктно МОДЕЛЕЙ ПРИ НАВЧАННІ ГЕОМЕТРІЇ

1.1 Поняття наочності та її роль в процесі навчання математики

До поняття наочності в процесі навчання зверталися відомі вчені, психологи, фахівці в області теорії і методики навчання математики, вчені-математики.
Наочність як принцип навчання ввів у теорію і практику навчання Я. А. Коменський [20].
Російський педагог К.Д. Ушинський вказував, що наочність відповідає психологічним особливостям дітей, мислячих «формами, звуками, фарбами, відчуттями» [20].
Педагогіка запозичила ідеї Коменського, Ушинського та їх послідовників, тому пояснення вчителя зв'язувалися з необхідністю демонструвати предмет засвоєння, представлений в чуттєвій формі, у вигляді речі, картини тощо, за допомогою наочних посібників.
Психолог О.М. Леонтьєв одним з перших у світовій педагогіці і психології поставив питання про те, що недостатньо діяти за допомогою наочних посібників на органи почуттів. Необхідні зустрічні, активні дії учнів. Тільки в цьому випадку, що впливають на органи почуттів наочні посібники трансформуються в психічні образи. Тобто, сприймають не органи почуттів людини, а людина з допомогою своїх органів почуттів [28].
Про роль наочності в математиці говорив найбільший математик Д. Гільберт: «У математиці зустрічаються дві тенденції: тенденція до абстракції - вона намагається виробити логічну точку зору на основі різного матеріалу і привести цей матеріал у систематичний зв'язок, інша тенденція - тенденція до наочності, яка в противагу цьому прагнути до живого розуміння об'єктів і їх внутрішніх відносин »[7].
Наочність використовується для отримання знань про зовнішні властивості математичних об'єктів, про взаємозв'язок об'єктів, про їх схожість і відмінності. Роль наочності полягає в тому, що вона дає можливість показати учням глибинні зв'язки між властивостями математичних об'єктів.
Психологи вважають, що для того, щоб правильно підібрати і використовувати наочність на уроці необхідно визначити дії учнів по відношенню до засобів наочності, а також дії, які повинні будуть виконати учні, щоб опанувати матеріалом свідомо [36].
Таким чином, спочатку поняття наочності відносилося лише до зорових сприйнять предмета чи явища. Потім воно виросло в поняття чуттєвого сприйняття взагалі (слух, зір, дотик). Пізніше до наочного методу навчання були віднесені спостереження, досвід і практичні додатки математики, а навчальні моделі, таблиці, картини, схеми і т.п. стали вважати наочними посібниками.

1.2 Об'єктні моделі як наочність навчанні геометрії

Вивчити форму тіла, зображати тіло на площині, на дошці, на папері, навчитися аналізувати, міркувати, доводити, розвивати просторове мислення - це основні завдання навчання математики в школі.
Для представлення просторових образів та їх зображення використовують наочні посібники, до яких відносяться оточуючі предмети, технічне обладнання і виготовлені моделей.
Планіметрія відіграє особливу роль у розвитку просторових уявлень, так як її образи простіше уявити. Робота з моделями не тільки допомагає учневі уявити форму, але розвинути просторове мислення. Після роботи з моделями учні краще будують і конструюють на площині.
Слово «модель» походить від латинського «modelus», що означає «міра» [3].
Методист Давидов В.В. розумів «модель» як образ (у тому числі умовний або уявний) чи прообраз (зразок) будь-якого об'єкта чи системи об'єктів («оригіналу» даної моделі), що використовується при певних умовах в якості їх «заступника» або «представника» [3 ].
Під моделлю розуміють відображення фактів, речей і відносин певної галузі знань у вигляді простої, більш наочної матеріальної структури [3].
Усі моделі наочні для їх творця, для тих, хто їх збудував, розробив, мають властивість наочності. Вони наочні і для тих, хто розуміє їх, розуміє, що вони є моделлю певного об'єкта.
Матеріальні об'єкти наочні тому, що, по-перше, вони чуттєві, сприймані, бо являють собою об'єктивно існуючі предмети або конструкції, апарати або реальні явища, живі істоти, по-друге, людина, обравши або сконструював ту чи іншу модель, попередньо створив у себе наочний образ [3].
У планіметрії широко використовуються площинні моделі - відрізки, кути, трикутники і просторові - піраміда, куб, та інші.
Особливість таких наочних посібників в тому, що вони маю постійну форму. З методичної точки зору це має позитивне значення. У дійсності: моделі постійної форми, чи то вони з паперу, з картону, з дроту або з дерев'яних планок різних розмірів, наприклад два вирізаних трикутника, дають вчителю можливість на дошці і в короткий термін показати накладення одного трикутника на інший, розглянути розташування основних елементів обох трикутників.
Аналіз методичної літератури [20, 26, 16 і др.] з проблеми навчання планіметрії, розробки конкретних уроків геометрії в 7-9 класах [21, 31, 41, 11, 9 та ін] показали, що найпоширенішими засобом навчання планіметрії в школі є різні моделі плоских і просторових фігур.

1.3 Класифікація моделей

У викладанні досить широко використовуються планіметричних моделі, стереометричні моделі (каркасні, скляні, дерев'яні, картонні), стереометричних набір, тригонометричний коло, стереометричних скриньку.
Вивчивши методичну літературу [11, 13, 5, 6, 14, 23 і др.] можна скласти наступну класифікацію.
Моделі можна поділити на дві великі групи: статистичні (нерухомі) і динамічні (діючі). У свою чергу статистичні моделі можна розділити на такі види:
1. Площинні моделі - моделі відрізків, кутів, паралельних прямих, трикутників і т. п.
2. Просторові моделі - моделі куба, призми, усіченої піраміди, конуса, і так далі. Вони застосовуються при вивченні пропедевтичного курсу так і для виділення на них якої-небудь геометричного образу (наприклад, у прямокутному паралелепіпеді виділяють конкретні образи: точки, відрізка, прямого кута), або при безпосередньому вимірі (наприклад, при визначенні площі).
У динамічних моделях можна виділити наступні види:
1. Рухливі моделі. Це рухливі моделі кутів, паралельних прямих, і так далі (зроблених з картону і паперу). Особливістю рухомий моделі полягає в тому, що за його допомогою можна легко показати багато приватних випадки фігури однієї і тієї ж форми, одного і того ж властивості фігури, звані граничними випадками (наприклад, перетворення трапеції в трикутник, трикутника у відрізок).
2. Геометричний конструктор. Він складається з набору цілого ряду окремих деталей: шарнірних паличок, шпильок, картонних моделей замкнутих фігур, з яких на уроці збирається і складається потрібна фігура. Такі конструктори часто носять назву стереометричного скриньки.
Наприклад, розсувні шарнірна модель кута, виглядає наступним чином:
45 0
90 0
120 0

Рис. 1. Розсувна шарнірна модель кута
3. Конструювання з паперу - до них відносять моделі фігур, утворених перегинання аркуша паперу. За допомогою перегинання листа рівною папери, можна отримати образ відрізка, подвійним перегинання - образ кута, суміжних і вертикальних кутів, потрійним перегинання можна отримати образ трикутника, ромба.

1.4 Вимоги, що пред'являються до наочних посібників і правила їх застосування в навчанні математики

Викладання курсу планіметрії без моделей навряд чи можна собі уявити. Для того, щоб використання їх у навчанні приносило позитивний ефект до них та їх виготовлення пред'являються наступні вимоги.
Слід пам'ятати, що використання моделей має бути в тій мірі, в якій вона сприяє розвитку мислення, формування знань і вмінь. Демонстрація і робота з наочними посібниками повинні вести до чергової сходинки розвитку, стимулювати перехід від конкретно-образного і наочно-дієвого мислення до абстрактного, словесно-логічного.
Наочні посібники мають бути прості, вільні від зайвого, що затуляє істотно важливе.
Наприклад, на моделі якщо є допоміжні лінії, то всі вони повинні бути блідими (або пунктирними). Рівні кути слід зробити однаковим кольором.
Проте варто пам'ятати, що допомога не повинна бути надмірно барвистими, щоб цією стороною не відволікати уваги учнів.
Наочні посібники повинні бути зручні для огляду, тобто моделі і написи на них повинні бути достатніх розмірів, щоб було видно з далеких парт. Наочні посібники повинні бути виконані акуратно
Моделі повинні по можливості виготовлятися самими учнями, це створює у них деякі практичні навики. Виготовлення наочних посібників розвиває конструктивні здібності. Користування наочними посібниками повинно бути продуманим і виправданим.
Не можна залучати наочні посібники в таких випадках, коли вони не сприяють розумінню навчального матеріалу.
Наприклад, іноді вчителі намагаються ілюструвати формулу куба суми двох величин. Для цього вони модель куба з ребром, рівним a + b, розбивають на паралелепіпеди і малі куби з ребрами a і b.
Розбір такого наочного посібника забирає багато часу, створює зайві труднощі для учнів, в той час як після виведення формули скороченого множення (a + b) 2 виведення формули (a + b) 3 не представляє для учнів ніякої труднощі.
Застосування наочних посібників у навчанні підпорядковане ряду правил:
- Необхідно орієнтувати учнів на всебічне сприйняття предмета за допомогою різних органів чуття;
- Звернути увагу учнів на найбільш важливі, істотні ознаки предмета;
- По можливості показати предмет в його розвитку;
- Надати учням можливість проявляти максимум активності і самостійності при розгляді моделей;
- Використовувати моделі рівно стільки, скільки це потрібно, не допускати перевантаження навчання наочними посібниками, не перетворювати наочність у самоціль.
Отже, вміле застосування моделей у навчанні повністю знаходиться в руках вчителя. Вчитель у кожному окремому випадку повинен самостійно вирішувати, коли і в якій мірі треба застосовувати моделі в процесі навчання, так як від цього певною мірою залежить якість знань учнів [20].

2. МЕТОДИЧНІ АСПЕКТИ Використання об'єктно МОДЕЛЕЙ ПРИ вивчення планіметрії

При вивченні курсу геометрії можуть і повинні застосовується об'єктні моделі. Одні з цих допомог можуть створюватися на самому уроці, як учителем, так і самими учнями (пригинання аркуша паперу) і негайно ж використовуватися. Інші посібники типу конструктора служать для створення тієї чи іншої фігури або комбінації фігур теж на уроці, але тільки самим учителем або одним з учнів, для подальшої демонстрації отриманої допомоги і проведення роботи з ним.
Рухливі моделі служать переважно для демонстрації процесу зміни форми або розмірів фігури. Такі посібники можуть виготовляти і самі учні (в порядку виконання програми з практичних занять у навчальних майстернях або домашньої самостійної роботи).
Нарешті, моделі фігур постійної форми мають найбільш широке застосування для створення чіткого уявлення тієї чи іншої фігури, для демонстрації таких операцій, як накладення або додаток, і т.п.
Багато наочні посібники, навіть більшість їх, можуть бути плідно використані перед вивченням тієї чи іншої теми або окремої теореми, щоб ознайомити учнів із загальним змістом теми чи теореми; в цьому випадку наочні посібники можуть служити джерелом, з якого випливає нова тема або окрема теорема.
Після закінчення вивчення теми або окремої теореми теж іноді корисно скористатися наочним посібником, щоб на ньому проілюструвати ту чи іншу теорему.
А також застосовується при вирішенні деяких завдань і при доказі деяких теорем.
Розглянемо докладно, які моделі і як можна використовувати на уроках геометрії у відповідності даної класифікації в пункті 1.3. цієї роботи.

2.1 Статистичні моделі при вивченні планіметрії

2.1.1 Площинні моделі

До них відносять моделі відрізків, кутів, паралельних прямих, трикутники, виготовлені з картону, паперу, з дроту, з дерев'яних планок. Особливістю таких моделей полягає в тому, що вони мають постійну форму. Розглянемо, як можна використовувати такі моделі на уроці.
На уроці вимірювання довжин відрізків. Можна запропонувати такі моделі: два відрізків виготовлених з паперу. Довжину одного з них позначити за одиницю і запропонувати хлопцям виміряти довжину другого. Скільки разів одиничний відрізок і його частини укладаються у відрізку, таку довжину буде мати даний відрізок. Часто такі моделі використовують при вивченні рівності фігур. Наприклад, моделі трикутників, що мають по 2 відповідно рівні сторони, дозволяють чітко і в короткий термін на класній дошці здійснити фактичне накладення одного трикутника на інший і показати можливі випадки розташування основних елементів обох трикутників, що значною мірою допоможе учням зрозуміти доказ теореми. Такі моделі допомагають уявити розташування фігур відносно один одного. Наприклад, на уроках взаємне розташування двох кіл, прямої та кола. Нам знадобляться 3 моделі: двох кіл і модель прямий (смужка, вирізана з паперу), краще, якщо ці фігури будуть різного кольору. Поставимо запитання: «Як можуть розташовуватися дві окружності. Учні відповідають: «Вони можуть перетинатися». Учитель на моделях показує перетин (накладення двох фігур один на одного) і так далі, аналогічно і розташування прямої та кола.

2.1.2 Просторові моделі

Геометричні поняття формуються в процесі спостереження форм, розмірів і взаємного розташування навколишніх предметів. З іншого боку, в пошуках практичних додатків планіметричних знань ми змушені розглядати просторові ситуації і виділяти в них плоскі об'єкти, на яких діють вивчені нами закономірності.
Ці дві обставини пояснюють необхідність просторової точки зору при вивченні планіметрії. Говорячи про геометричні тілах на першому уроці геометрії необхідно вказати геометричні тіла, які будуть вивчатися в курсі математики - це куб, паралелепіпед, призма, піраміда, усічена піраміда, куля, циліндр, конус, зрізаний конус. Можна повідомити тут і назви, не даючи визначень; попередньо корисно переконатися, які терміни відомі, які, не відомі дітям. Також у розмові з учнями встановлюються особливості цих форм, їх відмінні ознаки [7].
Можна розглянути класифікацію моделей мотивуючи, таким прикладом. Першого вересня зібралися всі учні нашої школи, всі переплуталися - семикласники поруч зі старшокласниками і тому подібне. Ставиться питання:
«З чого почне керівництво школи?»
Відповідь:
«Розподілити всіх по класах».
«А чому?»
Відповідь:
«Так як усі учні одного класу самотнього підготовлені.
«Ось так розбиваються всі тіла на класи, на групи, щоб знайти закони і властивості не окремого тіла, а всього сімейства тел даної групи, даного класу».
Після цього тіла розставляються на столі в деякому порядку. У бесіді підбиваються підсумки спостережень і встановлюються риси подібності та відмінності, встановлюється загальне і приватне.
На моделях цих тіл бажано, щоб учні показали поверхні криві і плоскі, лінії прямі, криві і ламані, крапки. Тут же попутно нагадати терміни «грань», «ребро», «вершина».
Можна виконати серії вправ на підрахунок числа граней, вершин, ребер у куба, піраміди і т. д. Цікаво зіставити кількість граней, вершин, ребер куба і прямокутного, прямого похилого паралелепіпедів (терміни не повідомляються). Допоможе зробити правильний висновок модель куба, у якої вертикальні ребра зроблені з гумок. У руках вчителя модель трансформується з куба в прямокутний, потім в похилий паралелепіпед.
Познайомившись з поняттями плоскої та просторової фігур, намічаємо крейдою на моделях геометричних тіл різні плоскі і просторові фігури (на кубі, на циліндрі, на кулі та ін.) Корисно моделі цих фігур виготовити з дроту: коло і спіраль (криві на циліндрі), квадрат і просторова ламана лінія з ребер куба і т. п.
Ввівши поняття рівних і нерівних відрізків, досліджуємо, які відрізки рівні і які не рівні у куба, паралелепіпеда, призми, піраміди. Разом з кубом можна розглянути прямий паралелепіпед, в основі у якого лежить ромб і висота дорівнює стороні підстави, і тетраедр. З'ясовується, що не тільки у куба всі ребра рівні [7].
При введенні понять «окружність», «коло» співставляємо плоскі криві замкнуті лінії і просторові (на кулі і циліндрі). Тут доступні для школярів запитання на кшталт: «У чому подібність і відмінність між плоскими і просторовими замкнутими кривими на кулі?». Доступний розумінню учнів показ кіл і кіл на перетинах кулі, циліндра і конуса. Перетин можна показати наочно, розрізавши яблуко ножем; перетину різної форми отримаємо, налив у склянку циліндричної форми воду і поступово нахиляючи його. Показавши перетин циліндра у формі еліпса, вчитель звертає увагу учнів, що цю фігуру ми креслимо, зображуючи на площині креслення основу циліндра або конуса. Справа в тому, що якщо коло спостерігати під різними кутами зору (показує), то він змінює свою форму від «круглої» до «плескатої». Це можна використовувати на уроці вивчення фігури еліпса.
При вивченні теми ламані і багатокутники необхідно звернути увагу учнів, що, перетинаючи площиною конус і циліндр, можемо отримати в перерізі не тільки криві лінії, але і ламані. Демонструємо відповідні каркасні або скляні моделі з виділеними на них перерізами. Поняття «багатокутник» добре ілюструється на багатогранника. Наприклад, розглядаючи піраміди різних видів, учні роблять висновок, що заснування цих тіл може бути трикутником, чотирикутником, п'ятикутником і т. д. (звідси відповідно і назви: трикутна, чотирикутна, п'ятикутна піраміди). Зате бічні грані пірамід завжди мають форму трикутників [7].
Познайомившись з поняттям кута (утвореного променями й освіченого відрізками), розглядаємо різні кути на моделях геометричних тіл, підраховуємо, скільки кутів сходиться у вершинах цих тіл, знаходимо на моделях тупі, прямі і гострі кути.
Види трикутників також добре ілюструються на пірамідах і трикутних призмах. Додаток понять «рівнобедрений трикутник», «рівні сторони», «рівні кути» до вивчення особливостей правильних в неправильних пірамід дозволяє моделювати своєрідний природничо-науковий метод дослідження. Нагадаємо, що учням невідомі визначення правильних і неправильних пірамід. Ці назви вчитель повідомив їм методом показу: «Ось ця група тіл - правильні піраміди, а ось ця неправильні»
Вже в процесі вимірювання розмірів піраміди і визначення форми їх граней учні знаходять спільні ознаки пірамід: в основі лежить багатокутник, бічні грані - трикутники, що сходяться в одній загальній вершині. Потім знаходяться ознаки, які відрізняють правильну піраміду від неправильної.
Маючи достатній набір пірамід (по одній парі на парту), можна організувати спостереження (і запис в зошитах) за такою формою (див. таблицю 1):
Таблиця 1
Форма для запису спостережень [38]
№
Піраміда
Форма бічних граней
Форма підстави
Розмір сторін підстави
Кути підстави
1
2
3
4
5
6
1
Правильна
Гострокутні рівнобедрені трикутники
П'ятикутник
Всі сторони по 10 см.
Рівні тупі кути
2
Правильна
Тупоугольние рівнобедрені трикутники
Чотирикутник (квадрат)
Всі сторони рівні за 12 см.
Рівні прямі кути
Неправильна
Різнобічні трикутники (є гострокутий, 2 прямокутних і 2 тупоугольние
П'ятикутник
Всі сторони рівні за 10 см.
Кути різні
Звичайно, зводити результати спостережень в одну таблицю немає необхідності. Колективне підведення підсумків може бути організовано так. За викликом вчителя учні повідомляють класу про результати своїх вимірів (спочатку щодо правильних пірамід, потім неправильних). Після кількох відповідей вчитель запитує, які загальні риси однойменних пірамід. Опитування триває. Ще після 2 - 3 відповідей хлопці роблять висновок: правильні піраміди володіють наступними загальними властивостями: у них бічні грані однакові рівнобедрені трикутники, а в основі лежить багатокутник з рівними сторонами і рівними кутами.
«Чи підтверджується це спостереження для інших правильних пірамід?» Запитує вчитель у тих, хто ще не був опитаний. «У кого правильна піраміда не володіє такими ознаками?» (В «спірних» випадках вимір повторюється знову).
Розглядаємо точно так само результати вимірювань неправильних пірамід (щоб уникнути непорозумінь правильні і неправильні піраміди повинні відрізнятися кольором). З'ясовується, що рівнобедрена форма граней, рівність сторін підстави і рівність кутів підстави також можуть спостерігатися у неправильних пірамід. (Щоправда, не одночасно), але ці ознаки не є обов'язковими для кожної такої піраміди [38].
При вивченні теми «Трикутники» можна розглядати перетину трикутної форми куба, паралелепіпеда і взагалі призм. Для зручності проведення вимірювань краще брати каркасні моделі. При цьому, крім ілюстрацій планіметричних понять і впізнання планіметричних об'єктів на стереометричних моделях, вони можуть бути використані як своєрідні об'ємні креслення до планіметричних задач. Справді, будь-який креслення, поміщений в задачнику, можна показати у вигляді відповідної грані або розрізу стереометрическое моделі.
Особливий інтерес представляє розгляд двох або трьох площинних об'єктів, які не знаходяться на одній площині. Наприклад, учням пропонується довести, що підстави трикутної призми представляють собою рівні трикутники. (Які елементи підстав необхідно для цього порівняти? Які можливі при цьому варіанти?).
Можливий і зворотний хід думки: створення просторової ситуації після розгляду планіметричний завдання. Наприклад, після виконання завдання: у трикутнику АDС (рис. 2) . Що можна довести? З'ясовується, що рівність сторін АС і АD, а також відрізків СВ і ВD можна довести і у випадку, якщо і лежать в різних площинах (трикутник АСD згинаємо по лінії AB).
А
У
З
D
Рис.2
З
У
А
D
Рис.3

І навпаки, обертаючи деякі грані просторової моделі, перетворюємо просторову задачу в плоску. Малюнок 3, зображає 2 трикутника АВС і АСD, причому АВ = 7 см, , , Міг бути отриманий з двох граней піраміди АВСD шляхом обертання бічній грані АСВ навколо ребра АС. Інші 2 грані, не беруть участь в задачі, можна на кресленні не показувати [38].
При вивченні паралелограмів вчитель демонструє паралелепіпед і задає питання: «Чи є паралелограма межі моделі паралелепіпеда?», «Як показати, що протилежні ребра паралелепіпеда, що лежать на одній грані, паралельні?» І т. д.
При вивченні теми «Приватні види паралелограма» (прямокутник, ромб, квадрат) вчитель на цих уроках демонструє об'ємні наочні посібники, на яких учні спостерігають ці фігури на тілах і їх перетинах. Шляхом вимірювань з'ясовується, ніж куб відрізняється від прямокутного паралелепіпеда, а цей останній - від прямого і похилого паралелепіпедів.
Вивчення поняття «трапеція» можна провести за допомогою усіченої піраміди, а також розглядаючи трапецієподібні перетину стереометричних тіл. Завдання довести, що якесь перетин або грань усіченої піраміди мають форму трапеції, призводить учнів до необхідності знайти ознака трапеції. Дуже зручні на стереометричних моделях практичні роботи, пов'язані з безпосереднім вимірюванням елементів плоскої фігури, наприклад обчислення площі в трапеції [38].
Модель піраміди з перетином, паралельним її підставі, чудовий посібник для вивчення пропорційних відрізків і подібних трикутників.
Точно так само тригонометричні функції гострого кута можна розглядати не тільки для прямокутних трикутників, накреслених на дошці, але і є гранями або перерізами тривимірних тіл.
Очевидно, описаний тут наочно-інтуїтивний вихід у простір при вивченні курсу планіметрії може супроводжуватися також узагальненням деяких вводяться понять. На це піде не дуже багато часу. Вище вже було розказано про введення не тільки плоских, але і просторових ламаних ліній.
При вивченні перпендикуляра до прямої знаходимо взаємно перпендикулярні ребра на моделях куба і прямокутного паралелепіпеда. Розглядаючи модель перпендикуляра до прямої, переконуємося в єдиності перпендикуляра до даної прямої, що проходить через дану на ній крапку, якщо мова йде про площині і незліченну кількість перпендикулярів до цієї прямий, якщо мова йде про простір [38].
Вивчення паралельних прямих краще почати з аналізу можливого розташування прямих у просторі. Так вводяться паралельні і мимобіжні прямі; два види прямих, не мають спільних точок. Із спостережень виявляється той факт, що теорема дві прямі, паралельні третьої прямий, паралельні один до одного справедлива і для просторового розташування прямих (зауважуємо, що доведено це буде в свій час).
При доведенні теореми: якщо дві прямі АВ і CD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямий МN, то вони паралельні. На каркасною моделі куба показуємо, що ця пропозиція вірно тільки для прямих, що лежать в одній площині.
Далі разом з поняттям плоского чотирикутника вводиться поняття просторового чотирикутника. Доводиться теорема: сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 180 0. Ця теорема правильна для плоских чотирикутників. А для просторових? Спостереження покаже, що ні. Неплоских чотирикутники можна спостерігати на каркасних моделях паралелепіпеда, поєднуючи чотири вершини, що не лежать на одній площині. Або за допомогою чотирьох паличок і пластиліну демонструються рухливі просторові чотирикутники, в яких, зберігаючи значення двох кутів, можна зменшувати два інших кута, що спростовує можливість узагальненні теореми про суму внутрішніх кутів чотирикутника [38].
Отже, використовуючи стереометричні моделі та їх розрізи для вивчення елементів планіметрії, ми досягаємо відразу кількох цілей, головними з яких є: [38].
1) забезпечення всебічного, більш глибокого розуміння планіметричних залежностей;
2) розвиток просторових уявлень учнів при вивченні планіметрії;
3) застосування знань з планіметрії при вирішенні просторових завдань, тобто, зближення навчання з можливими додатками в житті;
4) додаток вимірювальних і конструктивних навичок до природничих методів вивчення особливостей просторових фігур;
5) підготовка до вивчення систематичного курсу стереометрії.
Можна навести ще цілий ряд прикладів досить ефективного використання геометричних моделей постійної форми.
Однак такі моделі в даний час не можуть повністю задовольняти сучасним вимогам методики викладання геометрії, коли ідея руху та пов'язані з нею геометричні перетворення міцно входить у курс елементарної геометрії.
Виникає необхідність при вивченні геометрії вводити рухливі наочні посібники, що оточують ідею руху в геометрії.

2.2 Використання динамічних геометричних моделей

2.2.1 Рухливі геометричні моделі

Рухливі геометричні моделі в даний час широко використовуються у викладанні геометрії при відкритті понять, теорем і доказів. Наприклад, для демонстрації суміжних, вертикальних кутів, висот, медіан, бісектрис трикутника, паралелограма, за допомогою моделей зручно ілюструвати руху на площині (поворот, паралельний перенос, осьову і центральну симетрію). Набагато рідше використовуються рухливі моделі при вивченні різних залежностей між сторонами і кутами трикутника, між величинами проекцій і похилих і т. п. Це вивчення частіше за все ведеться статично, тобто, розглядається один окремий випадок, який характеризується певним кресленням. У свідомості школяра замість великого розмаїття випадків, які описує вивчається залежність, нерідко відбивається її «фотографія» - застиглий нерухомий креслення. Створюється свого роду протиріччя між закономірністю загального характеру і конкретним кресленням, який змушений показувати один з окремих випадків цієї залежності. Такий стан загрожує численними помилками учнів [38].
Зображуючи замість довільної фігури її приватний вид, учень сам створює собі перешкоди у вирішенні завдань, бо він мимоволі користується тими особливостями креслення, які не входять в умову задачі.
Наприклад, зображуючи замість довільного прямокутного трикутника рівнобедрений прямокутний трикутник, учень нерідко використовує при вирішенні завдання навіяне кресленням додаткову умову: гострі кути трикутника дорівнюють 45 °.
Мабуть, виникнення таких серйозних логічних помилок (невірне узагальнення) сприяє неправильна постановка викладання геометрії. Іноді вчителі, використовуючи при доказі креслення до теореми, не зупиняються на умовах, що допускають узагальнення, і учні мимоволі засвоюють таке «правило»: по одному кресленню можна судити про загальні закономірності. Природно тому, що при вирішенні завдань вони прагнуть брати найбільш «зручні» випадки. Звичайно, говорячи про умови, що дозволяють висловити загальний висновок при розгляді одного креслення, ми певною мірою нейтралізуємо прагнення учнів до «зручним» випадків. Але цього мало: необхідно також усувати причини, що призводять до помилок.
Як показав досвід, результати в цьому відношенні забезпечує вивчення планіметричних залежностей на рухомих моделях свого роду «рухливих кресленнях» [38].
В багатьох учнів відсутнє правильне уявлення про розміри кутів. Говорячи про вугілля в 30 °, чертится кут в 50 ° і т. п. Недолік окоміру, відсутність досвіду у поводженні з ходовими кутами значно ускладнює роботу з вирішення завдань, а також гальмує подальшу практичну діяльність учнів [7].
Для розвитку в учнів правильних навичок рекомендується під час вивчення кутів, побудови їх, вивісити в класі на невеликий термін (тиждень) зразки часто зустрічаються в практиці кутів: 30 °, 45 °, 60 °, 135 °. (Див. рис. 4.)


Рис. 4. Зразки часто зустрічаються кутів
Моделі можуть бути двох типів: дерев'яні та картонні.
Учневі будинку пропонується виготовити набір невеликих моделей різних кутів, наклеїти їх на аркуші, зробити написи, помістити в конверт.
Інтерес учнів 7 класу викликає планіметрична модель, яка ілюструє доказ теореми про суму внутрішніх кутів трикутника.
Кути 1 і 3 трикутника рухливі. Для того щоб учні висунули гіпотезу про суму кутів трикутника, вчитель ці кути розвертає на рухомий моделі, так як показано на рис. 5
1
2
3
1
2
3

Рис. 5. Модель розвороту рухливих кутів
При вивченні властивості хорди: хорда, не проходить через центр кола, менше діаметра, проведеного в тому ж колі.
Про
А
У
З
D

Рис. 6. Модель для вивчення властивостей хорди
Можна використовувати таку рухому модель. Модель являє собою лист картону, на якому накреслена коло. Уздовж дуги АВD може пересуватися точка В (гудзик) (рис.6). При русі точки В по дузі окружності утворюються різні трикутники, що володіють однією загальною особливістю, - дві сторони (радіуси) не змінюють своєї довжини. Згадуючи властивість відрізка, приходимо до висновку, що будь-яка хорда, не проходить через центр кола, менше його діаметра. На моделі, до речі, видно, чому доводиться вводити обмеження «не проходить через центр кола». У цьому випадку ламана АОВ випрямляється і властивість відрізка застосувати вже не можна [38].
При вивченні теми перпендикуляр і похила можна на моделі показати їх залежність: перпендикуляр, проведений з будь-якої, точки до прямої, менше всілякої похилій проведеної з тієї ж крапки в цій прямій.
А
До
З
D
А
У
З
D
Рис.7
Рис.8
На аркуші картону (рис.7) накреслені дві взаємно перпендикулярні лінії АВ і KD. Точка С рухлива, АС - гумка. Пересуваючи «точку» С (гудзик), отримуємо різні прямокутні трикутники, у яких змінює свою довжину похила АС служить гіпотенузою, а катет АВ не змінюється. Так як гіпотенуза більше катета, звідси випливає твердження теореми.
При доведенні ознаки паралелограма (Діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутника) можна використовувати наступну модель [38]:
Паралелограм (рис. 8), зроблений з дерев'яних реєчок. Діагональ ВС - гумка, точки А, В, С і D - осі обертання.
За будь-яких положеннях моделі трикутники АВС і BDC рівні один одному.
При вивченні залежності між дугою кола та хордою (Велика дуга стягується більшою хордою, велика хорда стягує велику дугу). Можна використовувати наступну модель: на аркуші картону накреслена половина окружності АСК (рис. 9). Так як рівні дуги стягуються рівними хордами і навпаки, то, не втрачаючи спільності міркувань, будемо відкладати, порівнювані хорди і дуги, з точки А. За дузі ВК, можуть пересуватися рухливі точки С і Е. Хорди АС і АЕ гумки, радіуси ОС і ОА - нитки [38].
А
З
Е
До
У
Про
D
Рис.9

При русі моделі видно, що якщо збільшувати дугу, то й стягуюча її хорда збільшується (гумка розтягується) і, назад, збільшення хорди викликає збільшення дуги. Але це можна не тільки показати, а й довести. Які б не були хорди АС і АЕ, через точки С і Е можна провести пряму (накладаємо на точки С і Е пряму стрижень, на малюнку він показаний пунктиром). Тоді можна бачити, що АЕ більше АС (похила, що має велику проекцію). Так як дуга АЕ також більше дуги АС і так як це положення моделі ми могли отримати, або збільшуючи дугу, або збільшуючи хорду, то звідси і випливає зроблений висновок. Розглядаючи одне з положень моделі, приходимо до формулювань підручника.
Після того як учні познайомляться з вписаними кутами, можна пояснити той факт, що перпендикуляр АТ буде весь час знаходитися по один бік від похилих АЕ і АС при будь-яких положеннях точок С і Е. Цей факт, що спостерігається на моделі безпосередньо, пояснюється тим, що вписаний кут АСЕ спирається на дугу, велику півкола, і тому він завжди тупий, а висота, опущена в тупоугольние трикутнику з вершини гострого кута, завжди лежить поза його [38].
Можна розібрати таку задачу з використанням моделі: довести, що якщо медіана трикутника дорівнює половині підстави, то цей трикутник прямокутний.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
А
У
З
D
Рис.10.

Використовуємо для ілюстрації умови того завдання модель суміжних кутів (мал. 10). Від точки А відкладаємо рівні відрізки АВ, АС і АD), в точках, С і D просвердлюємо отвори і прикріплюємо гумки СВ і СD.
Доказ отримуємо, помічаючи, що при будь-якому положенні моделі трикутники АВС і АСD рівнобедрені.
Після вивчення вписаних кутів можна розібрати і інший доказ, засноване на тому, що через точки В, С і D при будь-якому положенні рухомий моделі можна намалювати коло з центром у точці А [38].
У випадках, коли доказ за моделлю було з якихось причин незручно, все одно досліджувану залежність ми спостерігали на моделі, а вже потім переходили до креслення - фіксованого положення цієї моделі.
Для теореми Піфагора можна використовувати наступну модель.
Картонну модель «єгипетського» трикутника (а = 3; 6 = 4; з = 5). З побудованими квадратами на його сторонах.
Наведемо лише невелику деталь в порядку демонстрації цієї моделі.
Бажано показати модель не всю відразу в розгорнутому вигляді, а поступово, так, як проводиться побудова: «Побудуємо квадрат на стороні трикутника а» (і з-за трикутника, зверненого до учнів, показується квадрат з площею, розграфленій на клітини). Так послідовно з'являються всі три квадрати. Загинання квадратів за площину трикутника вимагає широких швів приєднання квадратів, що знижує демонстративну цінність приладу. Тому доцільно зберігати картонну модель теореми Піфагора в більш глибокої коробці, виймання моделі проводити поступово, від чого квадрати будуть з'являтися з футляра послідовно: з площею 32, 42, 52 [38].
При вивченні суми кутів трикутника і властивість зовнішнього кута трикутника можна використовувати моделі, де є накладні кути, які дорівнюють основним кутах. Докладно використання таких моделей можна подивитися далі в дослідному викладанні.
Ще одну групу динамічних моделей утворює група наочних посібників, яка називається геометричним конструктором.
Розгляд рухомих моделей слід поєднувати з створенням уявних рухомих образів. Наприклад, вирішуючи завдання на побудову трикутника за однієї заданої стороні, можна подумки переконатися, що рішень тут безліч. Досить уявити в розумі рухливу вершину, протилежну цьому боці, щоб переконатися, що існує безліч різних трикутників, що мають одне і те ж підстава. Деякі випадки різного положення вершини можна фіксувати крейдою на дошці [7].
Уявне (а потім у разі потреби фактичне) рух здійснюється, наприклад, коли учням пропонується упізнати, які фігури є симетричними відносно осі (щодо точки), які ні.

2.2.2 Геометричний конструктор

Як вже було сказано, до них відносяться шарнірні палички, шпильки і так далі. Шарнірні моделі демонструють види кутів (гострі, тупі, прямі; вертикальні, суміжні; кути, утворені при перетині двох паралельних прямих третьою і ін) [38]
При знайомстві з кутом суттєвим є уявити собі правильно, що ця фігура характеризує ступінь відхилення кута. Зокрема такого кута може і не бути, в цьому випадки промені збігаються і кут дорівнює 0. У той же час учневі важко усвідомити процес безперервної зміни кута. При використанні розсувний шарнірної моделі це явище стає наочним і очевидним.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис.11 711.

Опишемо наступний порядок використання такої моделі. Спершу вчитель показує деякий кут, повільно зменшує його до нуля, потім збільшує до кута більше 900. Учні під час демонстрації роблять замальовки в зошити і бачать безліч кутів, серед яких, заданий є окремим випадком. Корисно також показати, що подовження сторони кута не змінює його величини, це можна зробити, якщо розтягнути або зрушити штабики (рис.11), що утворюють сторони кута [7].
Шарнірні рухливі моделі кутів зустрічаються або набором моделей, або у вигляді окремих посібників. Недоліками моделі є:
1. Погана конструкція муфти, дає грубе уявлення геометричному образу-прямої лінії.
2. Невдалий шарнір не дозволяє утворити ні малих кутів, ні нульового положення.
3. Модель спотворює поняття вершини кута.
Але це можна дозволити, якщо використовувати замість планки металеву трубку і стрижні, що входять до них [7].
Інші шарнірні моделі з набору восьми моделей показують суміжні, вертикальні кути, кути при паралельних прямих і ін Ці моделі також знайдуть собі застосування для того, щоб допомогти учням виявити динамічну сутність питань.
Фігура трикутника настільки проста для представлення і настільки знайома учням з навколишнього оточення, що не потребує ні в іншому зображенні, крім креслення. Мова може йти ілюстрації на моделях перетворення трикутника з одного виду в інший. У цьому сенсі креслення вказують лише, дуже невелика кількість образів; один вид переходить в інший розривної, стрибкоподібно. На моделі ж форма змінюється безперервно, і перед очима учнів проходить безліч видів трикутників [7].
Разом з кутами і сторонами у трикутнику доводиться вивчати такі елементи, як медіана, перпендикуляр до сторони в її середині (медіатріса), висота і бісектриса. Було б недостатньо вивчити їх визначення і побудувати ці лінії, в одному - двох трикутниках; необхідно поспостерігати на рухомий моделі, як розташовується кожна з них у равнобедренном, правильному, прямокутному, тупоугольние трикутниках і як вони розташовуються один щодо одного.
Рис. 12

При трансформації трикутника зазначені елементи розташуються інакше: у прямокутному трикутнику (рис. 12 б) висота 1 співпаде зі стороною (катетом), бісектриса залишається лівіше медіани. У міру наближення трикутника до рівнобедрений, внутрішні елементи його зближуються і, нарешті, відмінні: в трикутник висота, медіана і бісектриса кута при вершині зливаються (рис. 12 в). Переміщуючи вершину У вправо, ми побачимо, що бісектриса переміститься і стане вправо від медіани, а висота, поступово зміщуючись, займе крайнє праве місце по відношенню до них (рис. 12 г) [7].
Перераховані зіставлення допоможуть глибше уявити собі суть справи і вільніше розібратися в задачах, де зустрічаються різні побудови; наприклад, побудувати рівнобедрений трикутник по медіані і висоті, опущеною на бічну сторону, і т. п.
У цьому випадку дослідження завдання, вказівка ​​на два можливих рішення при гострому і тупому куті при вершині легше даються учням, які пов'язують положення внутрішніх ліній в трикутнику з його формою. До даної моделі корисно повернутися в VII класі після вивчення теми «Кути в коло» і запропонувати обгрунтувати конструктивні передумови аналізованого посібника. Такого роду вправу можна розглядати як нескладну задачу на доказ за даними, отриманими учнями самостійно з розгляду приладу, а також як вправу в аналізі конструкції технічного пристосування [7].
Великий інтерес викликають замальовки і спостереження руху деяких елементів фігури. Як приклад можна навести демонстрацію шарнірного трикутника або трикутника, утвореного гумовими джгутами, в яких при постійному підставі переміщається вершина і змінюється висота фігури або, навпаки, при збереженні висоти розтягується або скорочується підставу, нарешті, одночасно змінюються обидва елементи. Після такого роду спостережень функціональна залежність периметра або площі від лінійних елементів очевидна з геометричних уявлень, а не тільки з формули. Подібні роздуми надзвичайно сприяють математичного розвитку.
Однак з демонстрацією моделей треба бути дуже обережним, тому що пристосування, розфарбування, розмітка, можуть відвернути учащих від геометричної сутності [7].

Рис. 13 (а і б)
Спостереження «чудових точок трикутника» може, відбувається наступним чином. Висновки існування єдиних точок перетину медіан, «бісектрис, перпендикулярів з середин сторін проводяться по відношенню до деякого трикутника; далі з того, що трикутник береться довільний, випливає, що отримані властивості притаманні трикутниках всіх видів. Такого роду узагальнення учні іноді приймають на віру, не будучи до кінця в цьому переконані. Виявляється, якщо після логічного доказу підтвердити висновок демонстрацією моделей, уявлення виходять більш осмисленими (рис. 13 а, б) [7].
Вершини гумової моделі трикутника повільно переміщаються, в цей час трансформується самий трикутник, а металеві стрижні, що зображують медіани, показують загальну точку перетину трьох ліній. Для випадку перпендикулярів стрижні закріплюються одним кінцем у середині боку, а інший кінець залишається вільним.
Зображення бісектрис засноване на властивості рівновіддаленості їх точок від сторін кута.
Наведемо ще одну модель теореми Піфагора, крім описаної вище картонній моделі.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 14 (а, б)

Квадратний футляр містить чотири рівних прямокутних трикутника, які на рис. 14 (а, б) складені так, що вільними від них залишаються два квадрати, побудовані на катетах трикутників [7].
Інша конфігурація вкладишів-трикутників залишає відкритою площа квадрата на гіпотенузі.
Таким чином, модель наочно демонструє, як з однієї і тієї ж площі квадрата-футляра два рази віднімалися однакова площа чотирьох трикутників, внаслідок чого залишалися рівні площі. А так як останні представлялися в одному випадку у вигляді суми площ квадратів, побудованих на катетах, а в іншому - квадратом на гіпотенузі, то і виходила модель для ілюстрації зв'язку на підставі теореми Піфагора.
Особливо зручно демонструвати відразу два таких прилади із зазначеними побудовами.
Загальноприйняте геометричне доказ теорему після наведених спостережень проводиться тільки за допомогою креслення.
Багаторічний досвід і відгуки вчителів переконують, що невелика витрата часу на демонстрацію посібників окупає себе цілком [7].
Слід відзначити ще один вид наочних посібників, який може застосовуватися в процесі вивчення деяких тем курсу планіметрії це моделі зі смужок, конструювання фігур з паперу, перегинання аркуша паперу.

2.2.3 Конструювання фігур з паперу

Результати психолого-педагогічних досліджень показують, ефективне навчання неможливе без активної та свідомої діяльності самих учнів, З метою її активізації, формування і розвитку у школярів пізнавального інтересу на уроках математики використовуються різні прийоми, Один з них - конструювання фігур з паперу.
Конструювання з паперу ставиться як до пізнавальної, так і до естетичної, художньої діяльності. Втілюючи в своїх роботах реально існуючі предмети, казкові фігурки і т.д., діти завжди намагаються прикрасити їх, додати їм незвичайні форми, зберігаючи при цьому основний образ [32].
Конструювання з паперу вчить дітей робити послідовні дії, концентрувати увагу, слухати і сприймати усні інструкції вчителя; сприяє розвитку дрібної моторики, пам'яті, формування просторової уяви й уміння подумки оперувати плоскими і об'ємними предметами; стимулює розвиток творчих здібностей. Існують різні техніки роботи з папером: м'яття, скручування, розривання, розрізування, згинання. Останні дві, хоча і є найбільш складними, найбільш поширені в педагогічній практиці використовуються на уроках математики (як на етапі вивчення нового матеріалу, так і на етапі його узагальнення і повторення), роблячи процес вивчення предмета більш доступним, цікавим і творчим.
Смужки служать моделями прямих ліній, променів відрізків. За допомогою смужок можна скласти кут. З трьох смужок скріплюючи їх у кінцях гвоздиками можна побудувати єдиний трикутник. Сторони його не можна ні зрушити, ні розсунути [32].
Можна поставити питання: «З будь-яких чи то трьох смужок можна скласти трикутник?» Спробуй побудувати трикутник зі смужок, даних на рис. 15.
SHAPE \ * MERGEFORMAT


Рис. 15. Смужки для побудови трикутника
Як не крути праву і ліву смужки, вони один до одного не дістануть. Трикутник з них не побудуєш. Тут виникає проблема, а коли ж трикутник можна побудувати. Цей приклад можна використовувати як мотивації при вивченні теми співвідношення між кутами і сторонами трикутника [32].
При вивченні видів трикутника можна використовувати модель, утворену з двох смужок і кольорового растягивающегося шнурка. Тут же слід звернути увагу учнів на те, що при збільшенні кута збільшується і протилежних сторона.
Модель ромба, утворену чотирма рівними смужками і надівши на протилежні вершини шнурки. Помічаємо, що при раздвіганіі моделі властивість ромба зберігаються [32].
Розглянемо відому головоломку «Танграм» [22]
Нагадаємо, що «Танграм» складається з семи частин: одного квадрата, одного паралелограма, двох великих, одного середнього розміру і двох маленьких прямокутних трикутників (рис. 16),
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис.16.

Чудовою особливістю головоломки є те, що з неї можна зібрати близько 1700 різних фігур, серед яких фігурки тварин, рослин і людей, літери, цифри, геометричні фігури і т.п.
«Танграм» має свої правила.
По-перше, в кожну фігурку повинні входити всі сім фрагментів головоломки.
По-друге, шматочки повинні тісно примикати один до одного без пробілів і ніколи не налягати один на одного навіть краєчком.
Використання головоломки дозволяє об'єднати наочно-образні і конструктивні методи в навчанні математики. «Танграм» можна застосовувати, з одного боку, в якості цікавого наочного матеріалу при поясненні окремих тем курсу геометрії, ас іншого - як засіб розвитку логічного та образного мислення учнів [22].
Роботу з головоломкою можна почати в будь-якому класі з учнями різного віку. Для цього достатньо взяти квадрат з паперу і розрізати його на частини, як показано на рис. 16.
Але для того щоб по-справжньому захопити школярів розглянутої головоломкою, пропонуємо вчинити так.
Роздати учням по аркушу паперу формату А4 і попросити зробити з нього квадрат. Потім почати розповідати наступну казку, супроводжуючи розповідь розрізанням вихідного квадрата на частини і складанням з частин різних фігур.
Геометрична казка [22].
Давним-давно існував такий світ, в якому все складалося з квадратів: будинки, звірі, птахи, дерева і т.д. У цьому квадратному світі жив дуже допитливий хлопчик на ім'я Микита.
Одного разу, прогулюючись по вулиці і спостерігаючи за всім, що відбувалося навколо, Микита подумав: цікаво, невже існує тільки одна геометрична фігура - квадрат? Він тут же побіг додому і запитав у мами: «Чому всі навколо складається тільки з квадратів?» Мама ніколи не замислювалася над цим питанням і швидко відповіла: «Тому що так було завжди».
Така відповідь не влаштувала хлопчика, і він вирішив постежити за тим, що відбувається навколо. Яке ж було здивування Микити, коли одного разу вранці він побачив метелика, і вона була такою (рис.17).
Рис.17.

(Складена з двох частин вихідного квадрата)
Дуже зрадів Микита, коли познайомився з новою фігурою трикутником, і зрозумів, що у світі існують не тільки квадрати, а й інші геометричні фігури.
Іншим разом, граючи на березі річки, Микита побачив кораблик (рис. 18).
Рис. 18.
Рис. 19.

(Складено з двох частин вихідного квадрата).
А потім і рибу, яка виглядала так (рис. 19). (Складена з трьох частин вихідного квадрата) [22].
Коли наступного разу Микита гуляв у лісі, він побачив ялина (рис.20.).
Кожного разу, виходячи на прогулянку, Микита одягав свої улюблені черевички (рис. 21.).
Рис. 20.
Рис. 21.

Але одного разу, гуляючи по лісу, хлопчик спіткнувся, упав і порвав улюблені черевички. В одного відірвався каблучок, а в іншого - розклеївся мисок, і черевички стали виглядати так (рис. 22.).
Рис.22.

Таким чином, Микита дізнався, що існує багато різних геометричних фігур, не тільки квадрати, а й трикутники, трапеції, паралелограма і ін
Закінчивши розповідь, слід запропонувати дітям завдання; хто зможе швидше за інших зібрати з одержані фігурок великий квадрат, який був у всіх до початку історії?
Коли діти складуть вихідний квадрат (див. рис. 16.), Їм повідомляється, що цей квадрат носить назву древньої китайської головоломки «Танграм» [22].
Наведений приклад показує, як у цікавій формі учні виготовляють з листа паперу геометричну головоломку.
«Танграм» можна використовувати і при вивченні окремих тем і розділів шкільного курсу геометрії. Наприклад, при вивченні властивостей геометричних фігур різного виду і відносин між елементами однієї і тієї ж фігури; при розгляді понять площі та периметра багатокутника; при вирішенні завдань, пов'язаних з теоремою Піфагора.
На перших уроках доцільно пропонувати учням прості завдання, які дозволять хлопцям освоїтися з головоломкою і її частинами, навчитися дізнаватися різні геометричні фігури, що входять в «Танграм». Наприклад, завдання на складання фігурок тварин: кенгуру, зайця, каченяти та ін

Після цього можна звернути увагу учнів на геометричні властивості фігур, складових головоломку: вихідний квадрат складається з п'яти трикутників, квадрата і паралелограма (рис. 23) [22].
Рис. 23.
Підпис: Рис. 23.
Зокрема, вказати на наступні властивості.
1. Всі п'ять трикутників - прямокутні і рівнобедрені.
2. Два великих трикутника (на рис. 23 вони позначені буквою Т) рівні, їх гіпотенузи рівні стороні вихідного квадрата, а катети - рівні половині діагоналі вихідного квадрата.
3. У середнього за розмірами трикутника (позначений буквою t) катети рівні половині боку вихідного квадрата, а гіпотенуза - дорівнює половині діагоналі вихідного квадрата.
4. Маленькі трикутники (позначені буквою t) рівні, їх гіпотенузи рівні половині боку вихідного квадрата, а катети - рівні четвертої частини діагоналі вихідного квадрата.
5. Сторона квадрата, позначеного літерою q, дорівнює четвертій частині діагоналі вихідного квадрата.
6. Одна із сторін паралелограма, позначеного буквою р дорівнює половині сторони вихідного квадрата, а інша - четвертої частини діагоналі вихідного квадрата [22].
Зазначимо деякі теми, при вивченні яких можна використовувати «Танграм»:
1. Багатокутники
2. Периметр трикутника і чотирикутника
3. Площі многокутників
4. Побудова за допомогою циркуля і лінійки
5. Подоба.
Приклади завдань на конструювання з фрагментів «Танграма» різних фігур і можливі графічні рішення до них додаються у додатку [22].
Заслуговує серйозної уваги методом побудови моделей геометричних фігур, є метод згинання (складання) листка паперу, розроблений індійським математиком Роу Сундара [13].
Геометричні побудови циркулем і лінійкою засновані на властивості окружності як геометричного місця точок. Геометричні побудови за допомогою перегинання листка паперу засновані на принципі осьової симетрії.
Листок паперу, складений удвічі і утворює пряму лінію перегину, є моделлю подвійної півплощини, кожна точка якої є подвійна крапка, віддалена від осі перегину на єдиному певній відстані.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
А
У
З
D
Рис. 24.

Розкриємо листок: дві півплощини перетворюються в одну площину, а подвійна точка перетворюється точки, що лежать на загальних перпендикуляре АВ перегину на рівних від неї відстанях, тобто дві точки, А і В, симетричні відносно перегину (рис.24), де лінії АВ і СD лінії згину.
Перегинаючи такий складений удвічі аркуш паперу різними напрямами і утворивши з ребер перегинання фігуру, ми, розправивши листок, отримуємо на ньому дві симетричні фігури.
Складаючи листок вчетверо, ми утворюємо на ньому найпростішим способом чотири прямих кута. Перегинання листка паперу дає прості і наочні способи розподілу кута навпіл, розподілу відрізка навпіл, восставленія і опускання перпендикулярів і, отже, проведення паралельних прямих, бісектрис, медіан і висот трикутників, побудови ромба, паралелограма і інших фігур [13].
Прийом перегинання листка паперу зручний при демонстрації всьому класу властивостей геометричних фігур, а особливо кутів.
Вирізаючи фігури (трикутники, паралелограм та ін), отримані перегинання листка паперу на папері, вчитель може, роблячи подальші перегинання, показати деякі властивості геометричних фігур. Так як основні побудови; поділ відрізка і кута навпіл відновлення і опускання перпендикуляра, за допомогою згинання листка паперу простіше, ніж циркулем лінійкою, то демонстрації вчителя сильно спрощуються і стають більш наочними.
Демонстрацію способів обчислення площ прямокутного гострокутного і тупоугольние трикутників, паралелограма, ромба і трапеції на моделях, утворених пригинання аркуша паперу. Особливо цінним при цьому будуть самостійні вправи учнів на своїх листках. Колективний досвід завжди більш продуктивний і переконливіший, ніж просте спостереження.
Розгляд рухомих моделей слід поєднувати з створенням уявних рухомих образів. Наприклад, вирішуючи завдання на побудову трикутника за однієї заданої стороні, можна подумки переконатися, що рішень тут безліч. Досить уявити в розумі рухливу вершину, протилежну цьому боці, щоб переконатися, що існує безліч різних трикутників, що мають одне і те ж підстава. Деякі випадки різного положення вершини можна фіксувати крейдою на дошці.
Уявне (а потім у разі потреби фактичне) рух здійснюється, наприклад, коли учням пропонується упізнати, які фігури є симетричними відносно осі (щодо точки), які ні [13].
Особливу увагу потрібно приділити виготовленню наочних посібників самим учням. Наведу як приклад висловлювання відомого методиста:
«До наочності треба приєднати активну діяльність самого учня ... Активність учня сягає вищого краю тоді, коли він сам що - або робить, коли в роботі бере участь не тільки голова, а й руки, коли відбувається всебічне (не тільки зорове) сприйняття матеріалу, коли він має справу з предметами, які він може на свій розсуд переміщати, по - різному комбінувати, ставити їх у певному відношенні і робити з спостережень висновки »[11].

2.3 Виготовлення моделей

Виготовлення наочних посібників силами самих учнів в даний час може широко застосовуватися при вивченні геометрії, так як у початковій школі закладається міцний фундамент розвитку трудових навичок учнів на уроках ручної праці (роботи з папером і картоном, з тканиною, з глиною або пластиліном і на навчально- дослідній ділянці), у V-VII класах - у навчальних майстернях (по дереву і металу). Отримавши завдання на виготовлення того чи іншого наочного посібника або приладу, учні можуть вдома або в навчальній майстерні під керівництвом інструктора виконати необхідну роботу [32].
Процес виготовлення наочних посібників має велике виховне та освітнє значення.
Щоб робота носила творчий, учневі слід вказати лише назву моделі, яку він повинен виготовити. У цьому випадку учень спочатку виступає в ролі конструктора, який повинен викреслити задану фігуру, погодившись з наявними матеріалами, розрахувати і проставити необхідні розміри на кресленні, викреслити наочне зображення. Після затвердження креслення вчителем учень приступає до виготовлення моделі, виступаючи вже в ролі кваліфікованого робітника, виконавця ідеї конструктора [32].
Отже, прийоми та навички самостійної роботи учнів повинна виробляти й розвивати школа на уроках геометрії. А закріплення цих навичок здебільшого проводиться поза класом - вдома або в групах продовженого дня. В останньому випадку забезпечується спостереження за самостійною роботою учнів з боку керівника групи, який стежить за виконанням завдання і в необхідних випадках може надати і допомогу.

2.4 Застосування моделей на етапах уроку

Моделі можна використовувати на всіх етапах процесу навчання: на етапі актуалізації знань, при поясненні нового матеріалу вчителем, при закріпленні вивченого матеріалу, при формуванні умінь і навичок, при виконанні домашніх завдань, на етапі контролю ступеня засвоєння навчального матеріалу.
Розглянемо застосування засобів наочності, при вивченні курсу планіметрії, на основних етапах уроку: актуалізації знань, вивчення нового матеріалу, закріплення вивченого матеріалу, контролю засвоєння вивченого матеріалу.
Етап актуалізації знань спрямований головним чином на підготовку учнів до засвоєння нового матеріалу, застосування наявних знань у стандартних та нових ситуаціях, оволодіння певними вміннями, стимулювання пізнавальної діяльності учнів, перевірку вчителем рівня засвоєння знань. З цією метою на початку уроку використовуються стереометричні моделі, рухливі моделі планіметричних моделі.
Етап актуалізації необхідний для встановлення зв'язків нового матеріалу з раніше вивченим, невідомого з відомим. Це сприяє систематизації матеріалу, більш глибокому розумінню його, формуванню міцних знань [17].
На етапі актуалізації знань найбільш доречно використовувати такі моделі
Приклад 1. При вивченні теми «Взаємне розташування двох кіл» можна використовувати моделі двох кіл.
Для цього перед учнями ставиться питання: «Як можуть розташовуватися дві окружності відносно один одного?» У руках вчителя дві моделі. Один з учнів каже, що кола можуть перетинатися. Учитель наочно показує їм це на моделях і задає наступне питання (тут же вчитель розглядає випадок, коли кола збігаються): скільки спільних точок мають кола?
Наступний випадок, коли окружності стосуються. Учитель знову наочно демонструє і задає питання: скільки спільних точок мають кола?
Наступний випадок, коли окружності не перетинаються. Учитель знову ставить те саме питання.
Далі робиться висновок, як можуть розташовуватися окружності. І переходять до вивчення нового матеріалу.
Етап вивчення нового матеріалу. Це ключовий етап у структурі уроку. З опорою на нього або у взаємозв'язку з ним вирішуються на уроці питання закріплення нового матеріалу та контролю ступеня засвоєння вивченого матеріалу.
Метою даного етапу уроку є оволодіння учнями новим матеріалом. Серед різних способів ознайомлення з новим матеріалом виділимо три: новий матеріал може бути пояснений самим учителем, в ході спільної діяльності з учнями або відпрацьований учнями самостійно [17].
При вивченні нового матеріалу починають вирішуватися питання, пов'язані із засвоєнням, тобто, розумінням, запам'ятовуванням, вміннями його застосовувати.
Також під час вивчення нового матеріалу необхідно забезпечити учням «орієнтування» у ньому. Вона досягається фіксуванням основного змісту, який необхідно засвоїти. Система орієнтирів повинна бути представлена ​​в такому вигляді, щоб учень міг правильно скористатися ними з першого ж разу. Для цього використовуються короткі схематичні записи (опорні конспекти), відповідні зразки застосування нового матеріалу при вирішенні завдань і т. д [17].
Приклад 2. Вивчаючи тему «Площа трапеції» можна використовувати шарнірну модель (рис. 25) при здійсненні пошуку докази формули
SHAPE \ * MERGEFORMAT
А
D
У
Н
З
Е
М
Рис. 25.

На цій моделі ΔАDМ = ΔЕСМ.
Рис. 25
Точка М закріплена на стороні DС, а ΔМСЕ рухливий. Учням демонструється, що трапеція АВСD складається з ΔAMD і ΔАВЕ без ΔМСЕ, а ΔАВЕ складається з ΔMCE і трапеції АВСD без ΔАМD.
Але ΔМСЕ = ΔАDМ і з цього учні роблять висновок про рівність площ трапеції ABCD і трикутника ABE.
Тому
У процесі вивчення нового матеріалу курсу планіметрії можуть застосовуватися моделі, утворені перегинання аркуша паперу. Так, наприклад, можна отримати образ відрізка, перегнув аркуш паперу. Якщо його перегнути двічі потрібним чином, то можна отримати образ кута, суміжних і вертикальних кутів, паралельних прямих і т. д. [40] Також для мотивації рішення того чи іншого завдання можна використовувати перегинання моделей (наприклад, трикутника, трапеції і т. п . (див. дослідне викладання)).
Приклад 3. При вивченні теми «Довжина кола і площа круга» учням видається тонка нитка і різні кола, вирізані з картону і завдання: «За допомогою нитки виміряйте довжину виданої вам окружності і довжину її діаметра. Знайдіть відношення довжини кола до довжини діаметра і порівняйте отриманий результат з числом π ».
На етапі закріплення вивченого матеріалу забезпечується засвоєння учнями навчального матеріалу на рівні, що відповідає програмним вимогам.
У ході закріплення важливо забезпечити запам'ятовування навчального матеріалу і формування умінь застосовувати його при вирішенні завдань.
Знання засвоюються тільки в ході відповідної власної роботи з ними [19].
Тому при закріпленні вивченого особливу увагу слід приділяти організації власної діяльності учнів у формі, що дозволяє вчителю проконтролювати її хід і одержувані результати. Підготовка до контрольної роботи, яка готує учнів до осмисленої і активної навчальної діяльності, повинна завершуватися поступовим зняттям зовнішнього контролю і переходом до виконання дій у розумовому плані.
Закріплення знань на уроках планіметрії проходить, в основному, через вирішення завдань, тому на етапі закріплення використовують рухливі моделі.
Приклад 4. Довести, що якщо медіана трикутника дорівнює половині підстави, то це трикутник прямокутний (приклад розібраний в п.2.2).
Цікавими для школярів можуть бути комбінаторно-геометричні задачі, в яких потрібно кроїти, різати і клеїти. Потім для обгрунтування своїх дій школяр повинен застосувати свої пізнання в геометрії. Елемент нестандартності, який присутній в таких завданнях, збуджує інтерес і бажання їх вирішити, а наочність і мінімум знань, достатніх для їх вирішення, дозволить розглядати ці завдання зі школярами 7-9 класів (на факультативі, на математичному гуртку).
Приклад 5. У чотирикутнику ABCD сума кутів ABD і BDC дорівнює 180є, а сторони AD і BC рівні. Доведіть, що кути при вершинах А і С такого чотирикутника рівні [35]
Рішення: розріж чотирикутник по діагоналі BD і, перевернувши трикутник ВСD, знову докладемо його до діагоналі ВD (рис. 26). Вийде рівнобедрений трикутник АСD (АD = DС), тому А = С.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

З
А
D
А
У
З
D
Рис. 26

Взагалі, при пошуку вирішення завдань головне - встановити ланцюжок логічних обстежень, яка призводить до доводить твердження. Щоб навчити школярів логічно грамотно міркувати, треба розвивати в них навички такого мислення, яке допомагало б їм вибудовувати розрізнені геометричні факти в логічні взаємозв'язки.
На етапі контролю встановлюється зворотний зв'язок в системі вчитель - учень, яка дозволяє регулярно отримувати інформацію, що використовується для визначення якості засвоєння учнями навчального матеріалу, своєчасного діагностування та коригування їх знань і вмінь.
Призначенням засобів наочності на етапі контролю є те, що вони вносять різноманітність у навчальний процес - це дозволяє підтримувати пізнавальний інтерес в учнів. А також засоби наочності полегшують працю вчителя на уроці, швидко дозволяють демонструвати учням їх результати [19].
Контроль може бути здійснений за допомогою усного опитування. Наприклад після вивчення теми паралелограм і його види. Учитель показує фігуру зроблену з картону (паралелограм, прямокутник, квадрат, і так далі). Учні повинні назвати цю фігуру і її властивості.

2.5 Недоліки використання моделей

Як показує досвід, використання моделей у навчанні математики характеризується рядом недоліків.
Не слід розглядати наочні засоби як тимчасову опору при початковому засвоєнні знань, а також слідувати правилу: чим старше учні, тим менше моделей повинне застосовуватися у викладанні математики.
Не слід використовувати засоби наочності тільки в ілюстративних цілях. Необхідно не тільки демонструвати учням готові моделі, але також залучати їх до самостійного виготовлення, оперування з ними.
Наприклад, при вивченні теми «Паралелограм» модель паралелограма можна використовувати не тільки в ілюстративних цілях. З його допомогою можна вирішувати з учнями цікаві завдання - на побудову паралельних прямих і перпендикулярів, на відшукання бісектриси кута і т. д.
Невдала конструкція моделі або невміле поводження з нею можуть викликати недоліки в розумінні учнями навчального матеріалу.
Надмірне захоплення наочними засобами заради ілюстрації виведених правил, законів, теорем також є значним недоліком [17].
Початкові геометричні відомості повідомляються школярам ще в початковій школі. Основним методом є спостереження конкретних форм оточуючих дитини. У 5-6 класах ці спостереження поповнюються і систематизуються.

2.6 Дослідне викладання

Дослідне викладання проводилося в ході педагогічної практики в 7 класі середньої загальноосвітньої школи № 21. Був проведений урок по темі «Сума кутів трикутника».
У цьому класі вивчення геометрії ведеться за підручником [4].
Урок був проведений 30.01.07, після вивчення «паралельності прямих, їх властивостей і ознак. Урок вивчення нового матеріалу
Цілі уроку:
- Повторити ознаки і властивості паралельності прямих;
- Вивчити теорему про суму кутів трикутника, її доказ і наслідок, із застосуванням моделей;
- Навчити розв'язувати задачі на застосування нового матеріалу;
- Виховувати відповідальне ставлення до навчальної праці, акуратність, послідовність виконання дій.
Устаткування і засоби: навчальний посібник «Алгебра 7 кл.» У двох частинах А. Г. Мордкович, зошит, олівець, авторучка, рухливі моделі, крейда, дошка і лінійка
Структура уроку:
1. Постановка домашнього завдання (2 хв.).
2. Ознайомлення з темою і постановка цілей уроку (2 хв.).
3. Актуалізація знань (10мін.).
4. Вивчення нового матеріалу (15 хв).
5. Первинне осмислення і застосування матеріалу (10 хв.).
6. Підведення підсумків уроку (2мін.).
7. Резервні завдання.
Зміст уроку:
I етап. Постановка домашнього завдання.
Здравствуйте, сідайте. Відкрили щоденники, записали домашнє завдання. § 30 № 224, № 228 (а), № 230 *, № 229. Завдання схожі на завдання, які будемо вирішувати в класі. Кому потрібна оцінка вище, ніж 3, вирішуємо під зірочкою.
II етап. Ознайомлення з темою і постановка цілей.
На попередніх уроках при вирішенні завдань ви використовували теорему про суму кутів трикутника. Але суворого доказ цього рівності не було, отже, користуватися цим твердженням не можна було. На цьому уроці ми доведемо, що рівність вірно для будь-якого трикутника і ви сміливо можете застосовувати це твердження при вирішенні завдань. Також познайомимося, поняттям зовнішнього кута трикутника, сформулюємо властивість зовнішнього кута трикутника. Метою нашого уроку буде познайомитися з доказом теореми про суму кутів вивести властивість зовнішнього кута трикутника і повирішувати завдання з цієї теми.
III етап Актуалізація знань учнів;
SHAPE \ * MERGEFORMAT
А
У
З
D
F
30 0
На дошці намальований трикутник.
Дано: AF Õ BD
AB = BF
× B = 30 0
Довести: BD - бісектриса × CBF
Знайти: × А, × F, суму кутів D ABF.
Підпис: Дано: AFÕBD AB = BF × B = 300 Довести: BD - бісектриса × CBF Знайти: × А, × F, суму кутів DABF.
Рис. 27.
Підпис: Рис. 27.
Доведемо, що BD бісектриса. Що нам для цього потрібно показати, Діма?
Нам потрібно показати, що пряма BD ділить кут навпіл.
Що значить, ділить кут навпіл, Таня?
Це означає, що кут CBD дорівнює куту FBD?
Що нам відомо в задачі?
Що пряма AF паралельна BD.
А, що нам відомо про паралельні прямі, Саша?
Що у паралельних прямих при перетині з січною навхрест лежачі кути рівні і сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 1800.
Чим ми скористаємося в задачі, Діма?
Навхрест лежать кути рівні.
І так які кути ми розглянемо, Стас?
Кут AFB і кут DBF, утворені січної BF при паралельних прямих AF і BD.
Правильно Стас, з цього ми можемо зробити висновок, що ці кути рівні. Продовжимо пряму BD відзначимо точку L з іншого боку від точки B і розглянемо січну АB. Що ми можемо помітити?
Що кути ABL і FAB рівні як навхрест лежачі кути при паралельних прямих і січної.
Вірно хлопці. Подивимося на малюнок, що ми можемо сказати про кути ABL і DBC?
Ці кути вертикальні, а значить, вони рівні.
У результаті ми отримаємо: (записи ведуться на дошці вчителем)
(1)
З того, що трикутник рівнобедрений
(2)
З рівності (1) і (2), робимо висновок:

Іншими словами BD-бісектриса.

Вирішимо ще одне завдання:
Дано: Õ AC
Знайти: суму кутів трикутника
Підпис: Дано: ÕAC Знайти: суму кутів трикутника
D
B
E
A
C

Рис. 28.
Підпис: Рис. 28.
Хлопці подивіться в руках у мене модель зроблена з картону, малюнок такої ж, як на дошці (рис. 29.). Що ми можемо сказати про кути .
B
Підпис: B
C
Підпис: C
Рис. 31
Підпис: Рис. 31
Рис. 30.
Підпис: Рис. 30.
Рис. 29.
Підпис: Рис. 29.
Вони рівні.
Чому?
Ці кути навхрест лежачі при паралельних прямих і AC і січної AB.
Вірно, подивимося на модель.
(Вчитель розгортає кут 1 (рис 30.) І показує на моделі, що кути дійсно рівні)
За аналогією, що ми можемо сказати про кути ABC і CBE?
Вони теж рівні.
(Учитель розгортає кут 2 (рис. 31.) І показує, що кути дійсно рівні)
У результаті ми отримуємо, що:

Це не, що інше, як сума кутів трикутника. А чи випадково сума кутів трикутника дорівнює 180 або цим властивістю володіє будь-який трикутник?
Цим властивістю володіє будь-який трикутник, тому що вибір трикутника не змінить рівність навхрест лежачих кутів. У результаті ми отримуємо, що:
У кожного трикутника сума кутів дорівнює 1800
Це твердження носить назву: теорема про суму кутів трикутника
І так тема нашого уроку: «Сума кутів трикутника. Зовнішній кут трикутника ».
4 Етап вивчення нового матеріалу.
Відкрили зошити, відступили чотири клітинки, записали число, класна робота та тему нашого уроку
Класна робота.
Сума кутів трикутника. Зовнішній кут трикутника.
Запишемо план докази:
Максим, Діма, Маша працюють біля дошки.
План докази:
Побудувати DEÕAC через вершину B,
Довести, що
Довести, що якщо то (Рис. 32)
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 32.
Рис.33.

Молодці, хлопці, сідайте.
Ми з вами розглянули суму кутів трикутника, а тепер введемо визначення зовнішнього кута трикутника і запишемо його у зошит.
Зовнішнім кутом трикутника називається кут, несуміжні з внутрішнім.
Подивіться на дошку (рис. 33.).
Назвіть зовнішній кут трикутника. ( )
Завдання класу: доведіть, що і сформулюйте властивість.
Доказ: і суміжні та отримуємо . Кут ACB з суми кутів трикутника дорівнює . Підставляємо
.
Запишемо властивість у зошит.
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним.
Подивимося на модель (рис 34)., На ній намальований трикутник і зовнішній кут трикутника. Пересунемо кут 1 і розгорнемо кут 2. Отримали, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох інших кутів?

Рис. 34.
Підпис: Рис. 34.
5 Етап первинного осмислення та застосування матеріалу.
Виконаємо усно № 223 (б), в), г).), № 225, № 226.
№ 223 б) 260;
в) 1800-3a;
г) 600.
№ 225 значить
№ 226. Якби кути при основі рівнобедреного трикутника б прямими або тупими, то сума цих кутів була б вже дорівнює або больше1800, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
Письмово: № 228 (в), № 227 (б). Один учень працює біля дошки, інші в зошити.
Питання: чи може кут трикутника при основі рівнобедреного трикутника бути рівний 100.
Чому дорівнює сума кутів при основі даного трикутника? А кожен з них?
№ 227 (б) Чому дорівнює кут при основі рівнобедреного трикутника, якщо він у три аза менше зовнішнього кута суміжного з ним?
Чому рівні інші кути даного трикутника?
6Етап підведення підсумків.
Закрили зошити. Що ми дізналися сьогодні нового на уроці.
Ми познайомилися з теоремою про суму кутів трикутника, з поняттям зовнішнього кута трикутника.
Яка властивість зовнішнього кута трикутника ми довели Даша продиктуй:
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох інших кутів трикутника не суміжних з ним
Всім дякую за урок, до побачення.
7 етап резервні завдання
№ 227 (а), № 229.
Короткий аналіз проведеного уроку.
Проведений урок по темі «Сума кутів трикутника. Зовнішній кут трикутника »пройшов успішно, учні на уроці працювали активно, відповідали на всі поставлені питання. Важливу роль у цьому відіграла досить хороша підготовка учнів, а також використання різних моделей
Використання засобів наочності дуже допомогло при вивченні теми, з їх допомогою матеріал став більш доступним і протягом усього уроку учні були зацікавлені в його вивченні.

ВИСНОВОК

Застосування наочності на уроках вивчення планіметрії в основній школі займає особливе місце. Систематичне застосування моделей дозволяє вирішити проблему більш якісного та повного засвоєння курсу планіметрії, а також сприяє підвищенню темпу засвоєння навчального матеріалу, розвитку і підтримці інтересу до предмета у школярів.
При використанні моделей на уроках планіметрії в учнів розвиваються абстрактні уявлення та поняття, різні форми розумової діяльності, образне і логічне мислення.
У даній роботі наведено класифікацію моделей, сформульовані вимоги та правила застосування моделей у навчанні математики. При цьому велика увага приділена використанню різних видів моделей при навчанні планіметрії, зокрема їх застосування на різних етапах уроку.
Таким чином, наведені в роботі теоретичні положення та практичні рекомендації щодо використання моделей у процесі навчання планіметрії можуть бути використані вчителями математики у своїй практиці, а також студентами математичного факультету при підготовці до занять з теорії та методики навчання математики.

СПИСОК

1. Болтянский В.Г. Формула наочності - ізоморфізм плюс простота [Текст] / В.Г. Болтянский / / Радянська педагогіка. - 1970. - № 5. - С. 46 - 60.
2. Бурмістрова Н.В. Наочна геометрія [Текст]: зошит для учнів 5-го класу / Н.В. Бурмістрова, Н.Г. Старостенкова. - Саратов: Ліцей, 2001. - 48 с.
3. Волович М. Б. Наука навчати [Текст]: технологія викладання математики / М.Б. Волович. - М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с.
4. Геометрія [Текст]: навч. для 7-9 кл. середовищ. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. - М.: Просвещение, 1992. - 335 с.
5. Дорф П.Я. Наочні посібники з математики та методика їх застосування в середній школі [Текст]: посібник для вчителів / П.Я. Дорф. - М.: Держ. учеб.-пед. вид-во Мін-ва Просвітництва РРФСР, 1960.
6. Дорф П.Я. Наочні посібники з математики. - М.: 1955, 160
7. Дорф П.Я. Наочні посібники з математики та методика їх застосування. - М.: 1960.-335с.
8. Дудніцин Ю.П. Урок математики: застосування наочних посібників та технічних засобів навчання. - М.: Вища школа, 1987 - 128.
9. Єпішева О. Б. Загальна методика викладання математики в середній школі [Текст]: курс лекцій: навч. посібник для студентів фіз.-мат. спец. пед. ін-тів / О.Б. Єпішева. - Тобольськ: Вид. ТГПІ ім. Д.І. Менделєєва, 1997. - 191 с.
10. Івашев-Мусатов О.С. Про першому знайомстві з геометрією [Текст] / О.С. Івашев-Мусатов / / Математика в школі. - 2003. - № 7. - С. 44 - 48.
11. З досвіду викладання математики (6-8 класи) [Текст]: посібник для вчителів / Cост. М.Р. Леонтьєва. - М.: Просвещение, 1977. - 175 с.
12. Імранов Б. Ніколи не забувайте про наочності [Текст] / Б. Імранов / / Математика в школі. - 2001. - № 2. - С. 49 - 51.
13. Калінін І. А. Електронний підручник [Текст] / І.А. Калінін / / Математика в школі. - 2000. - № 8. - С. 75 - 77.
14. Карасьов П.А. Елементи наочної геометрії в школі. - М.-1955.
15. Каченовський М.І. Математичний практикум з моделювання. - М. ,1958-190.
16. Костіцин В.М. Моделювання на уроках геометрії: Теорія і методичні рекомендації. - М.: Гуманит. Вид. Центр ВЛАДОС, 2000.-160.
17. Лабораторні та практичні роботи з методики викладання математики [Текст]: навч. посібник для студентів фіз.-мат. спец. пед. ін-тів / Є.І. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко [и др.]; під ред. Є.І. Лященко. - М.: Просвещение, 1988. - 223 с.
18. Манвелов С.Г. Конструювання сучасного уроку математики [Текст]: кн. для вчителя / С.Г. Манвелов. - М.: Просвещение, 2002. - 175 с.
19. Метельський Н.В. Дидактика математики [Текст]: лекції з загальних питань / Н.В. Метельський. - Мн., Вид-во БГУ, 1975. - 256 с.
20. Методика викладання математики в середній школі [Текст]: загальна методика: навч. посібник для студентів фіз.-мат. фак. пед. інститутів / Cост. Ю.М. Колягін, В.А. Оганесян, В.Я. Саннінскій, Г.Л. Луканкін. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.
21. Методика викладання математики в середній школі [Текст]: загальна методика: навч. посібник для студентів пед. ін-тів / А.Я. Блох, Є.С. Канін. [И др.]; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.
22. Міщенко Т.М. Індивідуальні картки з геометрії для VII - IX класів [Текст] / Т.М. Міщенко, А.В. Семенов / / Математика в школі. - 2002. - № 2. - С. 19 - 25.
23. Мячина М.В. Конструювання з паперу на уроках математики в 5-6 кл. / М.В. Мячина / / Математика в школі. - 2006. - № 9. - С. 36 - 41.
24. Наочні посібник з математики ». Збірник статей. Під ред.А.М. Пишкало і Є.Г. Гаврилов.: М., 1962-141.
25. Ожегов С.І. Словник російської мови [Текст] / С.І. Ожегов; під ред. Н.Ю. Шведової. - 20-е видання. - М.: Изд-во «Російська мова». - 1987. - 752 с.
26. Педагогіка [Текст]: навч. посібник для студентів пед. вузів і пед. коледжів / За ред. П.І. Пидкасистого. - М.: Педагогічне товариство Росії, 2003. - 608 с.
27. Петрова О.С. Теорія і методика навчання математики [Текст] / учеб.-метод. посібник для студ. мат. спец.: в 3 ч. Ч. 1. Загальна методика / Є.С. Петрова. - К.: Вид-во Сарат. ун-ту, 2004. - 84 с.
28. Погорєлов А.В. Геометрія [Текст]: навч. для 7-11 кл. середовищ. шк. / О.В. Погорєлов. - Вид. 3-є. - М.: Просвещение, 1992. - 383 с.
29. Підготовка вчителя математики [Текст]: інноваційні підходи: навч. посібник / За ред. В.Д. Шадрикова. - М.: Гардаріки, 2002. - 383 с.
30. Полонський В.Б. Вчимося вирішувати завдання з геометрії [Текст]: учеб.-методич. посібник / В. Б. Полонський, Є.М. Рабинович, М.С. Якір. - К.: Магістр - S, 1996.-256 с.
31. Застосування навчально - наочних посібників та технічних засобів навчання на уроках математики. Методичні рекомендації. - М., 1972
32. Свавіль В.В. Геометрія ножиць в задачах [Текст] / В.В. Свавіль / / Математика в школі. - 1998. - № 2. - С. 87 - 90.
33. Саморобні наочні посібники з арифметики для 5-6 класів. / За редакцією С.В. Пазельского. - Саратов, 1959.
34. Смирнова І.М. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. загальноосвітнього закладу. / І.М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2001. -271.
35. Столяр А.А. Педагогіка математики [Текст]: курс лекцій / А.А. Столяр. - Минск: «Вишейшая школа», 1969. - 368 с.
36. Трефілов І.П. Як зацікавити математикою учнів середньої школи [Текст] / І.П. Трефілов. - М.: Держ. учеб.-пед. вид-во Мін-ва освіти РРФСР, 1957.
37. Фрідман Л.М. Психолого-педагогічні основи навчання математики в школі [Текст]: вчителю математики про пед. психології / Л.М. Фрідман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.
38. Фрідман Л.М. Наочність та моделювання в навчанні. - М.: Знание, 1984 .- 80с.
39. Хабіб Р.А. Про нові прийоми навчання планіметрії. - М.: Просвещение, 1969 - 158.
40. Черник О.В. Розвиток естетичної вихованості учнів під час навчання математики [Текст]: дис. ... Канд. пед. наук: 13. 00. 02. : Захищена 22. 02. 03: затв. 15. 06. 03 / Черник Ольга Володимирівна. - Кіров, 2003. - 158 с.
41. Чічігін В.Г. Методика викладання геометрії [Текст]: планіметрія: посібник для вчителів середовищ. школи / В.Г. Чічігін. - М.: Держ. учеб.-пед. вид-во Мін-ва освіти РРФСР, 1959.
42. Шубіна Т.В. Новий підхід до засвоєння школярами понять геометрії / Т.В. Шубіна, Н.А. Різник / / Математика в школі. - 2004. - № 3. - С. 55 - 59.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Курсова
200.5кб. | скачати

Схожі роботи:
Методика використання візуальних моделей у навчанні школярів розв`язання математичних задач
Методика навчання біології учнів 8 9 класів з використанням комп ютерних технологій
Навчання школярів розв`язування логічних задач на уроках інформатики з використанням информационнокоммуникационных
Методика навчання школярів кулінарії
Методика навчання школярів правилам дорожнього руху
Методика навчання школярів художній обробці деревини
Методика навчання школярів правилам дорожнього руху 2
Методика навчання молодших школярів метанню малого мяча
Методика навчання молодших школярів метанню малого м яча
© Усі права захищені
написати до нас